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统概

fakeppa2025年11月19日大约 6 分钟归档

全概率与贝叶斯公式

EZ
跳过，若有难题后看

技巧

求至少一个存在的概率：加奇减偶
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离散型

例1

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取值和概率离散相关
（2）所有概率加一起为1
（3）将x列平方，并将平方后相等的内容合并
（4）期望：x对应数值乘P对应数值
DX：image.png

例2

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（1）边缘分布律：image.png
每列各数相加，image.png
每行各数相加，image.png
获得了两个1维小表就是x和y的边缘分布律：image.png

（2）判断独立性的方法：
在二维表中， 选取数字，x和y相乘，是否等于 这个数字image.png
具体写法image.png
（3）求z=xy的分布律：
就是将x数值和y数值相乘，整合成一维表即可

一维连续型

公式1

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例题1

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积分结果就是需要求的概率：

推论1：

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例题2

特征：密度函数！！！！！！！！！且求的是未知数
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如果是分布函数F(x)只需要求区间端点相等即可！！！！！！！！

公式2

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例题3

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小于等于需要加上等于此值得概率
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推论2

基于公式2
由
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可得
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例题4

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前两个是推论，后面两个是条件

综合公式1和2

推论3：

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推论4：

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例题5

求积分，F-->f
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例题6

求导数，f-->F
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大综合公式

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综合题目

FY(Y)的意思是P{Y<y}的意思
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f求法
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公式3

连续型求EX和DX
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例8

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二维连续型

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推论1：

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例2：

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最难超级综合

前置公式
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例3：

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公式2

边缘概率密度
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例题4：

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公式3

独立性判断
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例5：

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公式4

期望、方差
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例6：

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协方差

公式1

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例题1：

离散
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连续
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公式2

XY是否相关
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例2：

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公式3

协方差相关系数
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先求Cov(X,Y)再求方差
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矩估计

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例1：
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最大似然估计

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题型

第二章

1. 比较难的古典概型，两次投骰子问题

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把得到小的点数的事件分解为两种事件相加，第一种是两次都是一个数字，另外就是两次恰有一个此数字。
第一种无争议：1/6*1/6
第二种：先选一个最小数1/6，再选比次数大的任意数字，最后C12在两次投骰子中选取一次作为此数字，答案如图image.png

2. 已知概率密度求分布函数，即是已知f(x)求F(x)

易混淆点：
(1). 不能简单直接使用不定积分，这个需要以(-∞,x)为积分上下限进行定积分
(2). 由于所有分段区间都需要积分(-∞,x)区域，注意积分范围是否跨越需要计算的区域，则需要先对其范围积分出来，再与你所计算的区间的积分进行相加

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3. 正态分布问题

记住公式与表格image.png

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概率的更多细节
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一个分布函数F(Y)是另一个分布函数F(X)的函数，那么F(Y)可以由F(X)进行表示image.png
答案：
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小小知识点
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偶函数对称积分区间，
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加一个x就是奇函数了，奇函数直接是0
另一题也用了同样的方法image.png

第三章

1. 由概率密度花样求P

（1） 求概率P在规定X和Y或者只规定X或者Y的概率
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（2）只规定X或者Y的概率，未规定的变量用定义域即可
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（3）以不等式规定的内层需要规定交换，外层为定义域，内层为交换后的关系
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2. 求边缘分布律

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分布函数 直接带入定义域即可，求谁谁就是未知数x或y，另外就是定义域

3. 求边缘分布律---边缘概率密度

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求积分即可，注意积分范围需要结合xy两个定义域，综合写出
边缘概率密度的定义域结合原定义域画图写出来image.png

4. 由单个边缘概率密度反求XY联合概率密度 image.png

小知识点：均匀分布意思如图image.png

例如：面积得1，然后连续均匀分布于0到1上

5. 卷积公式Z=X+Y

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小知识点：

卷积公式
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解答：
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第四章

1. 随机变量分布律的期望存在问题

小知识点：数学期望对应的是绝对是收敛
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2. 期望的实际问题

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本题目主要不同在于，存在隐藏的第二个随机变量，两者仅联系在于：第一个的变量的0到1的概率，以及大于1的概率，作为第二个隐藏的离散型随机变量的概率，而题目目标在于第二个随机变量的期望的数值！
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3. 实际问题2

小知识点：数学期望不可以进行非线性运算
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小知识点：关于期望的原始公式image.png

其中g(x)是关键的，关于f(x)的函数，如果求原始的fx的期望直接赋值g(x)为x，如果要求关于f(x)函数的期望，则需要g(x)赋值为f(x)的函数，x设置为f(x)所代表的含义内容

小小知识点：立方差公式image.png
小知识点：image.png

括号左边的数字代表期望EX，右边的代表方差DX

小知识点：DX运算的需要提出系数的平方到前面，如图

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数理统计精讲

1. 求样本均值，样本方差，样本标准差

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2. 求统计量的期望和方差

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n为样本个数
泊松分布

参数为n，Ex和Dx就等于几

3. 三种分布

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到底了:D
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